Източноазиатска математика

Големият ранен период, I-VII век

Деветте глави

Деветте глави предполага математически знания за това как да се представят числата и как да се извършват четирите аритметични операции на събиране, изваждане, умножение и деление. В него числата са написани с китайски букви, но за повечето описани процедури действителните изчисления са предназначени да се извършват на повърхност, може би на земята. Най-вероятно, както може да се направи изводът от по-късни сметки, на тази повърхност или на таблото за броене, числата бяха представени чрез преброяване на пръчки (вижте фигурата), които бяха използвани съгласно десетична система със стойност на мястото. Числата, представени с броещи пръти, могат да бъдат преместени и модифицирани в рамките на изчисление. До много по-късно обаче не са регистрирани писмени изчисления. Както ще се види, настройката на изчисленията с преброяване на пръчки силно повлия на по-късните математически разработки.

Деветте глави съдържат редица математически постижения, вече в зряла форма, които бяха представени от повечето последващи книги без съществени промени. Най-важните постижения са описани накратко в останалата част от този раздел.

Аритметика на дроби

Разделението е централна операция в „Деветте глави“. Дроби се дефинират като част от резултата от делене, а останалата част от дивидента се приема като числител, а делителят - като знаменател. По този начин, разделяйки 17 на 5, се получава коефициент 3 и остатък от 2; това води до смесено количество 3 + 2/5. Фракционните части по този начин винаги са по-малко от една и тяхната аритметика е описана чрез използването на деление. Например, за да получите сумата от набор от дроби, един е инструктиран да

умножете числителите по знаменателите, които не отговарят на тях, добавете, за да получите дивидента. Умножете знаменателите всички заедно, за да получите делителя. Извършете разделението. Ако има остатък, посочете го с делителя.

Този алгоритъм съответства на съвременната формула a / b + c / d = (ad + bc) / bd. Следователно сумата от набор от дроби е резултат от разделяне на формата „цяло число плюс правилна дроб“. Всички аритметични операции, включващи дроби, са описани по подобен начин.

Алгоритми за области и обеми

Деветте глави дават формули за елементарни равнини и плътни фигури, включително областите на триъгълници, правоъгълници, трапеции, кръгове и сегменти от кръгове и обемите на призми, цилиндри, пирамиди и сфери. Всички тези формули се изразяват като списъци на операции, които трябва да бъдат извършени върху данните, за да се получи резултатът, т.е. като алгоритми. Например, за да се изчисли площта на кръг, е даден следният алгоритъм: „умножете диаметъра по себе си, утройте това, разделете на четири“. Този алгоритъм се равнява на използването на 3 като стойност за π. Коментаторите добавиха подобрени стойности за, заедно с някои производни. Коментарът, приписан на Лю Хуй, изчислява две други приближения за π, едно леко ниско (157/50) и едно високо (3,927 / 1,250). Деветте глави също дават правилната формула за площта на кръга - „умножавайки половината от диаметъра и половината от обиколката, човек получава площта“ - което доказа Лю Хуи.

Решаване на системи от едновременни линейни уравнения

Деветте глави посвещават глава на решението на едновременни линейни уравнения - тоест на колекции от отношения между неизвестни данни и данни (уравнения), при които нито едно от неизвестните величини не е повдигнато до мощност, по-голяма от 1. Например, първият проблем в тази глава, относно добивите от три сорта зърно, пита:

3 пакета зърно от най-висок клас, 2 снопа със среден клас и 1 сноп от нисък клас дават 39 единици зърно. 2 снопа от най-висок клас, 3 снопа със среден клас и 1 сноп от нисък клас 34 единици. 1 сноп от най-висок клас, 2 снопа със среден клас и 3 снопа с нисък клас добив 26 единици. Колко единици дава пакет от всеки клас зърно?

Процедурата за решаване на система от три уравнения в три неизвестни включва подреждането на данните върху изчислителната повърхност под формата на таблица, както е показано на фигурата. Коефициентите на първото уравнение са подредени в първата колона, а коефициентите на второто и третото уравнение във втората и третата колона. Следователно числата на първия ред, съдържащи първия коефициент във всяко уравнение, съответстват на първата неизвестна. Това е екземпляр от обозначение на място и стойност, при което позицията на число в числова конфигурация има математическо значение. Основният инструмент за решението е използването на редукция на колоните (елиминиране на променливите чрез намаляване на техните коефициенти до нула) за получаване на еквивалентна конфигурация. По-нататък неизвестността на третия ред се намира чрез деление, а оттам и втората и първата неизвестни. Този алгоритъм е известен на Запад като елиминиране на Гаус.

Описаният по-горе алгоритъм залага по съществен начин на конфигурацията, дадена на набора от данни на преброяващата повърхност. Тъй като процедурата предполага изваждане от колона на колона, тя поражда отрицателни числа. Деветте глави описват подробни методи за изчисляване на положителни и отрицателни коефициенти, които позволяват да се разрешат проблеми, включващи две до седем неизвестни. Това изглежда е първата поява на отрицателни числа в историята на математиката.