тригонометрия

Принципи на тригонометрията

Тригонометрични функции

За тригонометрията се изисква малко по-обща концепция за ъгъл, отколкото за геометрия. Ъгъл А с върха на V, чиято начална страна е VP, а крайната страна на която е VQ, е показана на фигурата от плътната кръгова дъга. Този ъгъл се генерира от непрекъснатото въртене на часовниковата стрелка на линеен сегмент около точката V от позицията VP до позицията VQ. Втори ъгъл A ′ със същата начална и крайна страна, посочен на фигурата от счупената кръгова дъга, се генерира чрез въртене на часовниковата стрелка на линейния сегмент от позицията VP към позицията VQ. Ъглите се считат за положителни, когато са генерирани от въртене обратно на часовниковата стрелка, отрицателни, когато са генерирани от въртене по часовниковата стрелка.Положителният ъгъл A и отрицателният ъгъл A 'на фигурата се генерират от по-малко от едно пълно завъртане на линейния сегмент около точка V. Всички други положителни и отрицателни ъгли с еднакви начални и крайни страни се получават чрез завъртане на линейния сегмент един или повече пълни завои, преди да дойдете да почивате на VQ.

Числовите стойности могат да бъдат присвоени на ъгли, като се избере мерна единица. Най-често срещаните единици са степента и радианът. Има 360 ° в пълен оборот, като всяка степен допълнително се разделя на 60 ′ (минути) и всяка минута се разделя на 60 ″ (секунди). При теоретичната работа радианът е най-удобната единица. Той е ъгълът в центъра на окръжност, който пресича дъга, равна по дължина на радиуса; просто казано, има 2π радиана в една пълна оборота. От тези определения следва, че 1 ° = ^π / ₁₈₀ радиана.

Equal angles are angles with the same measure; i.e., they have the same sign and the same number of degrees. Any angle −A has the same number of degrees as A but is of opposite sign. Its measure, therefore, is the negative of the measure of A. If two angles, A and B, have the initial sides VP and VQ and the terminal sides VQ and VR, respectively, then the angle A + B has the initial and terminal sides VP and VR. The angle A + B is called the sum of the angles A and B, and its relation to A and B when A is positive and B is positive or negative is illustrated in the figure. The sum A + B is the angle the measure of which is the algebraic sum of the measures of A and B. The difference A − B is the sum of A and −B. Thus, all angles coterminal with angle A (i.e., with the same initial and terminal sides as angle A) are given by A ± 360n, in which 360n is an angle of n complete revolutions. The angles (180 − A) and (90 − A) are the supplement and complement of angle A, respectively.

Trigonometric functions of an angle

To define trigonometric functions for any angle A, the angle is placed in position on a rectangular coordinate system with the vertex of A at the origin and the initial side of A along the positive x-axis; r (positive) is the distance from V to any point Q on the terminal side of A, and (x, y) are the rectangular coordinates of Q.

The six functions of A are then defined by six ratios exactly as in the earlier case for the triangle given in the introduction. Because division by zero is not allowed, the tangent and secant are not defined for angles the terminal side of which falls on the y-axis, and the cotangent and cosecant are undefined for angles the terminal side of which falls on the x-axis. When the Pythagorean equality x² + y² = r² is divided in turn by r², x², and y², the three squared relations relating cosine and sine, tangent and secant, cotangent and cosecant are obtained.

Ако точката Q от крайната страна на ъгъл A в стандартно положение има координати (x, y), тази точка ще има координати (x, −y), когато е от крайната страна на −A в стандартно положение. От този факт и определенията се получават допълнителни идентичности за отрицателни ъгли. Тези отношения могат също да се посочат накратко, като се каже, че косинусът и сеансът са четни функции (симетрични около оста y), докато останалите четири са нечетни функции (симетрични за произхода).

Видно е, че тригонометричната функция има една и съща стойност за всички котерминални ъгли. Следователно, когато n е цяло число, sin (A ± 360n) = sin A; съществуват подобни отношения за останалите пет функции. Тези резултати могат да бъдат изразени, като се каже, че тригонометричните функции са периодични и имат период от 360 ° или 180 °.

Когато Q от крайната страна на A в стандартно положение има координати (x, y), той има координати (−y, x) и (y, −x) от крайната страна на A + 90 и A - 90 в стандартно положение съответно. Следователно, шест формули приравняват функция на комплемента на A към съответната функция на A (виж таблицата).

Таблици с естествени функции

To be of practical use, the values of the trigonometric functions must be readily available for any given angle. Various trigonometric identities show that the values of the functions for all angles can readily be found from the values for angles from 0° to 45°. For this reason, it is sufficient to list in a table the values of sine, cosine, and tangent for all angles from 0° to 45° that are integral multiples of some convenient unit (commonly 1′). Before computers rendered them obsolete in the late 20th century, such trigonometry tables were helpful to astronomers, surveyors, and engineers.

For angles that are not integral multiples of the unit, the values of the functions may be interpolated. Because the values of the functions are in general irrational numbers, they are entered in the table as decimals, rounded off at some convenient place. For most purposes, four or five decimal places are sufficient, and tables of this accuracy are common. Simple geometrical facts alone, however, suffice to determine the values of the trigonometric functions for the angles 0°, 30°, 45°, 60°, and 90°. These values are listed in a table for the sine, cosine, and tangent functions.