Векторная алгебра (Може 2024)
Вектор, по математика, количество, което има както величина, така и посока, но не и позиция. Примери за такива количества са скорост и ускорение. В съвременния си вид векторите се появяват в края на 19 век, когато Джосия Уилард Гибс и Оливър Хевисайд (съответно от Съединените щати и Великобритания) самостоятелно разработиха векторен анализ, за да изразят новите закони на електромагнетизма, открити от шотландския физик Джеймс Клерк Максуел. От това време векторите придобиват съществено значение във физиката, механиката, електротехниката и други науки, за да опишат математически сили.
линейна алгебра: Вектори и векторни пространства
Линейната алгебра обикновено започва с изучаването на вектори, които се разбират като величини, имащи както величина, така и посока. Vector s
Векторите могат да бъдат визуализирани като насочени линии, чиито дължини са техните величини. Тъй като само величината и посоката на векторната материя, всеки насочен сегмент може да бъде заменен с една и съща дължина и посока, но започваща в друга точка, като например произхода на координатна система. Обикновено векторите се обозначават с удебелена буква, като v. Величината на вектора или дължината се обозначава с | v | или v, което представлява едномерно количество (като обикновено число), известно като скалар. Умножаването на вектор по скалар променя дължината на вектора, но не и посоката му, с изключение на това, че умножаването на отрицателно число ще обърне посоката на стрелката на вектора. Например, умножаването на вектор по 1/2 ще доведе до половина на вектор в една и съща посока, докато умножаването на вектор по -2 ще доведе до вектор двойно по-дълъг, но насочен в обратна посока.
Два вектора могат да бъдат добавени или извадени. Например, за да добавите или извадите векторите v и w графично (вижте диаграмата), преместете всеки към първоизточника и завършете паралелограма, образуван от двата вектора; v + w тогава е един диагонален вектор на паралелограма, а v - w е другият диагонален вектор.
Има два различни начина за умножаване на два вектора заедно. Кръстът или векторът на продукта води до друг вектор, който се обозначава с v × w. Величината на напречния продукт се дава от | v × w | = vw sin θ, където θ е по-малкият ъгъл между векторите (с техните "опашки", поставени заедно). Посоката на v × w е перпендикулярна на v и w и посоката му може да се визуализира с правилото на дясната ръка, както е показано на фигурата. Кръстосаният продукт често се използва за получаване на „нормална“ (линия, перпендикулярна) на повърхността в даден момент и се случва при изчисляването на въртящия момент и магнитната сила върху движеща се заредена частица.
Другият начин за умножаване на два вектора заедно се нарича точков продукт или понякога скаларен продукт, защото води до скалар. Точният продукт е даден от v ∙ w = vw cos θ, където θ е по-малкият ъгъл между векторите. Точковият продукт се използва за намиране на ъгъла между два вектора. (Обърнете внимание, че точков продукт е нула, когато векторите са перпендикулярни.) Типично физическо приложение е да се намери работата W, извършена от постоянна сила F, действаща върху движещ се обект d; работата е дадена от W = Fd cos θ.
