Математика на уравнение на Лаплас

Уравнението на Лаплас, частично диференциално уравнение от втори ред, широко полезно във физиката, защото неговите решения R (известни като хармонични функции) се срещат при проблеми с електрически, магнитни и гравитационни потенциали, от стационарни температури и от хидродинамика. Уравнението е открито от френския математик и астроном Пиер-Симон Лаплас (1749-1818).

принципи на физическата наука: дивергенция и уравнение на Лаплас

Когато зарядите не са изолирани точки, но образуват непрекъснато разпределение, като локалната плътност на заряда ρ е съотношението на заряда δ

Уравнението на Лаплас заявява, че сборът от частичните производни от втори ред на R, неизвестната функция по отношение на декартовите координати, е равен на нула:

Сумата отляво често е представена от израза ∇ ² R, в който символът ∇ ² се нарича лапласианец или оператор Лаплас.

Много физически системи са по-удобно описани чрез използването на сферични или цилиндрични координатни системи. Уравнението на Лаплас може да бъде преработено в тези координати; например в цилиндрични координати уравнението на Лаплас е